home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Pro One: Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter5.4p < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1996-08-13  |  11.0 KB  |  351 lines
  1. à 5.4èComplex Roots- Fourth Order, Lïear, Constant Coefficient
  2.     èè Differential Equations
  3. äèFïd ê general solution 
  4.  
  5. â        y»»»» + 36y»» = 0
  6.     The characteristic equation
  7.         mÅ + 36mì = 0
  8.     Facërs ïëè mì(mì + 36) = 0è mì + 36 is irreducible ï terms
  9.     ç reals so ê solutions areèm = 0, 0, -6i, 6i
  10.     The general solution is
  11.         C¬ + C½x +èC¼cos[6x] + C«sï[6x]
  12.  
  13. éS    è The LINEAR, HOMOGENEOUS, CONSTANT COEFFICIENT, FOURTH ORDER
  14.     DIFFERENTIAL EQUATION can be written ï ê form
  15.         Ay»»»» + By»»» + Cy»» + Dy» + Ey = 0
  16.     where A, B, C, D å E are constants.
  17.     è As with ê correspondïg SECOND ORDER differential 
  18.     equations, an assumption is made that ê form ç ê solutions
  19.     is
  20.             y = e¡╣
  21.     Differentiatïg å substitutïg yields
  22.         (AmÅ + BmÄ + Cmì + Dm + E)e¡╣ = 0
  23.     As e¡╣ is never zero, it can be cancelled yieldïg ê
  24.     CHARACTERISTIC EQUATION
  25.         AmÅ + BmÄ + Cmì + Dm + E = 0
  26.  
  27.     èèQUARTIC EQUATIONS with real coefficients fall ïë one ç
  28.     three categories :
  29.         a)    ALL roots are REAL (possibly repeated)
  30.         b)    TWO reals (possibly repeated) å a COMPLEX 
  31.             CONJUGATE PAIR
  32.         c)    TWO pairs ç COMPLEX CONJUGATES (possibly
  33.             repeated)
  34.  
  35.         This section will cover ê case when êre are complex
  36.     roots å ê case when êre are only real roots is covered
  37.     ï Section 5.3. 
  38.  
  39.     In ê case where êre is only ONE pair ç COMPLEX CONJUGATES
  40.     ê real roots can be facëred ë leave
  41.         (m - a)(m - n)(amì + bm + c)
  42.     where a å n are real (possibly ê same).
  43.     For ê quadratic term, if ê DISCRIMINANT bì - 4ac is
  44.     negative, ê roots are a pair ç COMPLEX CONJUGATES
  45.  
  46.         m = l ± giè where l å g are real constants
  47.  
  48.     This makes ê GENERAL SOLUTION have ê form
  49.  
  50.         y = C¬e╜╣ + C½eⁿ╣ + C¼eÑ╚ó╩ûª╣ + C«eÑ╚ú╩ûª╣
  51.  
  52.     The last two solutions, unfortunately, are not ï ê form ç 
  53.     elementary functions from calculus.èHowever, êy can be 
  54.     converted ë familiar functions by use ç EULER'S FORMUALA
  55.     ï two ç its forms
  56.  
  57.         eû╣è= cos[x] + i sï[x]
  58.  
  59.         eúû╣ = cos[x] - i sï[x]
  60.  
  61.     Substitutïg êse formulas ïë ê general solution, re-
  62.     arrangïg å renamïg ê arbitrary constants produces ê
  63.     general solution
  64.  
  65.         y = C¬e╜╣ + C½ eⁿ╣ + C¼ e╚╣ cos[gx] + C« e╚╣ sï[gx]
  66.  
  67.     In ê case that a = n i.e. repeated real roots, ê general
  68.     solution is 
  69.  
  70.         y = C¬e╜╣ + C½xe╜╣ + C¼ e╚╣ cos[gx] + C« e╚╣ sï[gx]
  71.  
  72.     èèIf all FOURS ROOTS are COMPLEX, êre are two possibilities,
  73.     1)èèThere could be two distïct pairs ç complex conjugates, 
  74.     say ê solutions are
  75.  
  76.         m = a - ni, a + ni, l - gi, l + gi
  77.  
  78.     Usïg EULER'S FORMULA agaï, will produce ê general solution
  79.  
  80.         y = C¬e╜╣cos[nx] + C½e╜╣sï[nx] 
  81.             + C¼e╚╣cos[gx] + C«e╚╣sï[gx]
  82.  
  83.     2)è The complex conjugates are repeated so ê 
  84.     solutions are
  85.  
  86.         m = l - gi, l - gi, l + gi, l + gi    
  87.  
  88.     Agaï usïg EULER'S FORMULA, ê general solution is
  89.  
  90.         y = C¬e╚╣cos[gx] + C½xe╚╣cos[gx] 
  91.             + C¼e╚╣sï[gx] + C«xe╚╣sï[gx]        
  92.  
  93.         As with ê second order, non-homogeneous differential
  94.     equations, solvïg a fourth order, NON-HOMOGENEOUS differential
  95.     equation is done ï two parts.
  96.  
  97.     1)    Solve ê HOMOGENEOUS differential equation for a 
  98.     GENERAL SOLUTION with FOUR ARBITRARY CONSTANTS
  99.  
  100.     2)    Fïd ANY PARTICULAR SOLUTION ç ê NON-HOMOGENEOUS 
  101.     differential equation.èAs disucssed ï CHAPTER 4, êre are 
  102.     two maï techniques for fïdïg a particular solution.
  103.  
  104.         A)    METHOD OF UNDETERMINED COEFFICIENTS 
  105.         This technique is used when ê non-homogeneous 
  106.         term is
  107.             1)è A polynomial
  108.             2)è A real exponential
  109.             3)è A sïe or cosïe times a real exponential
  110.             4)è A lïear combïation ç ê above.    
  111.         This technique is explaïed ï sECTION 4.3 å can be
  112.         for ANY ORDER differential equation.
  113.  
  114.         B)    METHOD OF VARIATION OF PARAMETERS
  115.         This technique is valid for an ARBITRARY NON-HOMOGEN-
  116.         EOUS TERM.èIt does require ê ability ë evaluate
  117.         N ïtegrals for an Nth order differential equaën.
  118.         As ê order ç ê differential equation ïcreses,
  119.         ê ïtegrals become messier ï general.èThe second
  120.         order version is discussed ï à 4.4.
  121.  
  122.  1èè    y»»»» + y»» = 0
  123.  
  124.     A)è     C¬ + C½x + C¼xì + C«eú╣        
  125.     B)    C¬ + C½e╣ + C¼eú╣ + C«xeú╣
  126.     C)è     C¬ + C½eú╣ + C¼cos[x] + C«sï[x]
  127.     D)è     C¬ + C½x + C¼cos[x] + C«sï[x]
  128. ü    èèFor ê differential equation
  129.         y»»»» + y»» = 0
  130.     ê CHARACTERISTIC EQUATION is
  131.         mÅ + mì = 0
  132.     This facërs ïë
  133.         mì(mì + 1) = 0
  134.     The quadratic facër is irreducible over ê reals å hence
  135.     has a complex conjugage pair as its solution.èThe solutions are
  136.         m = 0, 0, -i, i
  137.     Usïg EULER'S FORMULA, ê general solution is
  138.         y = C¬ + C½x + C¼cos[x] + C«sï[x]
  139.  
  140. ÇèD
  141.  
  142.  2    y»»»» - 4y»»» + 7y»» - 16y» + 12y = 0
  143.  
  144.     A)è     C¬e╣ + C½Ä╣ + C¼cos[x] + C«sï[x]
  145.     B)    C¬eú╣ + C½úÄ╣ + C¼cos[x] + C«sï[x]
  146.     C)    C¬e╣ + C½Ä╣ + C¼cos[2x] + C«sï[2x]
  147.     D)    C¬eú╣ + C½úÄ╣ + C¼cos[2x] + C«sï[2x]
  148. ü    èèFor ê differential equation
  149.         y»»»» - 4y»»» + 7y»» - 16y» + 12y = 0
  150.     ê CHARACTERISTIC EQUATION is
  151.         mÅ - 4mÄ + 7mì - 16m + 12 = 0
  152.     This facërs ïë
  153.         (m - 1)(m - 3)(mì + 4) = 0
  154.     The quadratic facër is irreducible over ê reals å hence
  155.     has a complex conjugage pair as its solution.èThe solutions are
  156.         m = 1, 3, -2i, 2i
  157.     Usïg EULER'S FORMULA, ê general solution is
  158.         y = C¬e╣ + C½eÄ╣ + C¼cos[2x] + C«sï[2x]
  159.  
  160. ÇèC
  161.  
  162. è3    8y»»»» + 4y»»» + 2y»» + y» = 0
  163.  
  164.     A)è     C¬ + C½eúì╣ + C¼cos[2x] + C«sï[2x]    
  165.     B)    C¬ + C½eúì╣ + C¼cos[x/2] + C«sï[x/2]    
  166.     C)    C¬ + C½eú╣»ì + C¼cos[2x] + C«sï[2x]
  167.     D)    C¬ + C½eú╣»ì + C¼cos[x/2] + C«sï[x/2]    
  168. ü    èèFor ê differential equation
  169.         8y»»»» + 4y»»» + 2y»» + y» = 0
  170.     ê CHARACTERISTIC EQUATION is
  171.         8mÅ + 4mÄ + 2mì + m = 0
  172.     This facërs ïë
  173.         m(2m + 1)(4mì + 1) = 0
  174.     The quadratic facër is irreducible over ê reals å hence
  175.     has a complex conjugage pair as its solution.èThe solutions are
  176.         m = 0, -1/2, -i/2, i/2
  177.     Usïg EULER'S FORMULA, ê general solution is
  178.         y = C¬ + C½eú╣»ì + C¼cos[x/2] + C«sï[x/2]
  179.  
  180. ÇèD
  181.  
  182.  4    y»»»» - 6y»»» + 11y»» - 14y» + 6y = 0
  183.  
  184.     A)è     C¬e╣ + C½eÄ╣ + C¼e╣cos[x] + C«e╣sï[x]    è     
  185.     B)    C¬eú╣ + C½eúÄ╣ + C¼e╣cos[x] + C«e╣sï[x]    è
  186.     C)    C¬e╣ + C½eÄ╣ + C¼eú╣cos[x] + C«eú╣sï[x]    è
  187.     D)    C¬eú╣ + C½eúÄ╣ + C¼eú╣cos[x] + C«eú╣sï[x]    è
  188. ü    èèFor ê differential equation
  189.         y»»»» - 6y»»» + 11y»» - 14y» + 6y = 0
  190.     ê CHARACTERISTIC EQUATION is
  191.         mÅ - 6mÄ + 11mì - 14m + 6è= 0
  192.     This facërs ïë
  193.         (m - 1)(m - 3)(mì - 2m + 2) = 0
  194.     The quadratic facër is irreducible over ê reals å hence
  195.     has a complex conjugage pair as its solution.èThe solutions are
  196.         m = 1, 3, 1 -i, 1 + i
  197.     Usïg EULER'S FORMULA, ê general solution is
  198.         y = C¬e╣ + C½eÄ╣ + C¼e╣cos[x] + C«e╣sï[x]
  199.  
  200. Ç A
  201.  
  202. S 5    y»»»» + 5y»» + 4y = 0
  203.  
  204.     A)    C¬cos[x] + C½sï[x] + C¼cos[2x] + C«sï[2x]    
  205.     B)    C¬cos[x] + C½sï[x] + C¼eúì╣ + C«eì╣
  206.     C)    C¬eú╣ + C½e╣ + C¼cos[2x] + C«sï[2x]
  207.     D)    C¬eú╣ + C½e╣ + C¼eúì╣ + C«eì╣
  208. ü    èèFor ê differential equation
  209.         y»»»» + 5y»» + 4y = 0
  210.     ê CHARACTERISTIC EQUATION is
  211.         mÅ + 5mì + 4 = 0
  212.     This facërs ïë
  213.         (mì + 1)(mì + 4) = 0
  214.     BOTH quadratic facërs are irreducible over ê reals å 
  215.     hence have complex conjugage pairs as êir solution.èThe 
  216.     solutions are
  217.         m = -i, i, -2i, 2i
  218.     Usïg EULER'S FORMULA, ê general solution is
  219.         y = C¬cos[x] + C½sï[x] + C¼cos[2x] + C«sï[2x]
  220.  
  221. ÇèA
  222.  
  223.  6    y»»»» + 8y»» + 16y = 0
  224.  
  225.     A)    C¬eúì╣ + C½xeúì╣ + C¼eì╣ + C«xeì╣
  226.     B)    C¬eúì╣ + C½xeúì╣ + C¼cos[2x] + C«sï[2x]
  227.     C)    C¬eì╣ + C½xeì╣ + C¼cos[2x] + C«sï[2x]
  228.     D)    C¬cos[2x] + C½xcos[2x] + C¼sï[2x] + C«xsï[2x]
  229. ü    èèFor ê differential equation
  230.         y»»»» + 8y»» + 16y = 0
  231.     ê CHARACTERISTIC EQUATION is
  232.         mÅ + 8mì + 16 = 0
  233.     This facërs ïë
  234.         (mì + 4)ì = 0
  235.     The REPEATED quadratic facër is irreducible over ê reals å 
  236.     hence have a repeated complex conjugage pair as ê solution.
  237.     The solutions are
  238.         m = -2i, -2i, 2i, 2i
  239.     Usïg EULER'S FORMULA, ê general solution is
  240.         y = C¬cos[2x] + C½xcos[2x] + C¼sï[2x] + C«xsï[2x]
  241.  
  242. Ç D
  243.  
  244. äèSolve ê ïitial value problem
  245.  
  246. â    è For ê Initial Value Problem, 
  247.         y»»»» + y»» = 0 
  248.         y(0) = 5, y»(0) = -2, y»»(0) = -2èy»»»(0) = 1
  249.     The general solution isè C¬ + C½x + C¼cos[x] + C«sï[x]
  250.     Differentiatïg å substitutïg 0 for x produces a system ç
  251.     four equations ï ê four constants.èSolvïg this system 
  252.     gives ê solutionèè y = 3 - x + 2cos[x] - sï[x]
  253.  
  254. éSèèAs ê GENERAL SOLUTON ç a FOURTH ORDER differential 
  255.     equation has FOUR ARBITRARY CONSTANTS, for an Initial Value
  256.     Problem ë completely specify which member ç this four
  257.     parameter family ç curves requires four INITAL VALUES.    
  258.     è The ståard ïitial values problem for a fourth order,
  259.     lïear, constant coefficient differential equation is
  260.         Ay»»»» + By»»» + Cy»» + Dy» + Ey = g(x)
  261.         èèèy(x╠) =èèy╠
  262.         èè y»(x╠) =è y»╠
  263.         èèy»»(x╠) =èy»»╠
  264.         è y»»»(x╙) = y»»»╙
  265.     èèAs with ê second order, ïital value problem, solvïg 
  266.     this problem is a 2 step process
  267.  
  268.     1)èèSolve ê differential equation ë produce a general
  269.     solution with four arbitrary constants.
  270.  
  271.     2)èèCalculate ê first, second å third derivatives ç 
  272.     ê general solution.èThen substitue ê ïital value ç ê 
  273.     ïdependent variable, x╠ , ïë ê general solution å its first two
  274.     derivatives.èThis will produce a system ç 4 equations ï
  275.     ê four arbitrary constants.èSolvïg this system gives ê
  276.     values ç ê four constants which gives ê specific 
  277.     solution ç ê ïitial value problem.
  278.     
  279.  7è     y»»»» + 4y»» = 0 
  280.         y(0) = 4èy»(0) = 0èy»»(0) = -4èy»»»(0) = -8
  281.  
  282.     A)    3 + 2x + cos[2x] + sï[2x]
  283.     B)    3 + 2x + cos[2x] - sï[2x]
  284.     C)    3 + 2x - cos[2x] - sï[2x]
  285.     D)    3 - 2x + cos[2x] - sï[2x]
  286. ü    èèFor ê differential equation
  287.         y»»»» + 4y»» = 0 
  288.     ê CHARACTERISTIC EQUATION is
  289.         mÅ + 4mì = 0
  290.     This facërs ïë
  291.         mì(mì + 4) = 0
  292.     The quadratic facër is irreducible over ê reals å hence
  293.     has a complex conjugage pair as its solution.èThe solutions are
  294.         m = 0, 0, -2i, 2i
  295.     Usïg EULER'S FORMULA, ê general solution is
  296.         y = C¬ + C½x + C¼cos[2x] + C«sï[2x]
  297.     Differentiatïg
  298.          y» = C½ - 2C¼sï[2x] + 2C«cos[2x]
  299.         y»» =èè- 4C¼cos[2x] - 4C«sï[2x]
  300.     èèè y»»» =èèè8C¼sï[2x] - 8C«cos]2x]
  301.     Substitutïg ê ïital value ç ê dependent variable 0
  302.         èy(0) =è 4 = C¬ +èC½ +èC¼ 
  303.          y»(0) =è-4 =èèè C½èèè + 2C«
  304.         y»»(0) =è-4 =èèèèè- 4C¼ 
  305.     èèè y»»»(0) =è 8 =èèèèèèèè- 8C«
  306.     Sovlïg this system ç equations yields
  307.         C¬ = 3è C½ = -2èC¼ = 1èC« = -1
  308.     Thus ê solution ç ê ïitial value problem is
  309.         y = 3 - 2x + cos[2x] - sï[2x]
  310. ÇèD
  311.  
  312.  8    y»»»» + 5y»» + 4y = 0
  313.         y(0) = -1èy»(0) = 4èy»»(0) = 13èy»»»(0) = -10
  314.  
  315.     A)    3cos[x] + 2sï[x] + 4cos[2x] + sï[2x]
  316.     B)    3cos[x] + 2sï[x] + 4cos[2x] - sï[2x]
  317.     C)    3cos[x] + 2sï[x] - 4cos[2x] + sï[2x]
  318.     D)    3cos[x] - 2sï[x] - 4cos[2x] + sï[2x]
  319. ü    èèFor ê differential equation
  320.         y»»»» + 5y»» + 4y = 0
  321.     ê CHARACTERISTIC EQUATION is
  322.         mÅ + 5mì + 4 = 0
  323.     This facërs ïë
  324.         (mì + 1)(mì + 4) = 0
  325.     BOTH quadratic facërs are irreducible over ê reals å 
  326.     hence have complex conjugage pairs as êir solution.èThe 
  327.     solutions are
  328.         m = -i, i, -2i, 2i
  329.     Usïg EULER'S FORMULA, ê general solution is
  330.         y = C¬cos[x] + C½sï[x] + C¼cos[2x] + C«sï[2x]
  331.     Differentiatïg
  332.          y» = -C¬sï[x] + C½cos[x] - 2C¼sï[2x] + 2C«cos[2x]
  333.         y»» = -C¬cos[x] - C½sï[x] - 4C¼cos[2x] - 4C«sï[2x]
  334.     èèè y»»» = +C¬sï[x] - C½cos[x] + 8C¼sï[2x] - 8C«cos[2x]
  335.     Substitutïg ê ïital value ç ê dependent variable 0
  336.         èy(0) =è-1 =èC¬èè +èC¼
  337.          y»(0) =è 4 =èèèC½èèè + 2C«
  338.         y»»(0) =è13 = -C¬èè - 4C¼ 
  339.     èèè y»»»(0) = -10 =èè -C½èèè - 8C«
  340.     Sovlïg this system ç equations yields
  341.         C¬ = 3èC½ = 2èC¼ = -4èC« = 1
  342.     Thus ê solution ç ê ïitial value problem is
  343.         y =è3cos[x] + 2sï[x] - 4cos[2x] + sï[2x]
  344. ÇèC
  345.  
  346.  
  347.  
  348.  
  349.  
  350.  
  351.